О возможности иной логики и математики

FoxHound

 

Мысль человеческая всё время ходит по кругу и возвращается на круги своя с каким-то периодом, индивидуальным для каждого. Вот и я не исключение. Поэтому опять возвращаюсь к старому вопросу: насколько можно доверять математике?

А почему, собственно говоря, нет? Математики городят турусы на колёсах, и чем выше, тем сомнительнее их, турусов, истинность. Но городят-то они их, в конечном счёте, на вполне надёжной базе, на прочном фундаменте. "1+1=2, 1+2=3, ..." "Все люди смертны; Сократ человек, следовательно, Сократ смертен". Про цыганское удвоение шара ещё могут быть разные мнения, но вот здесь-то, в элементарной арифметике и логике, нет и не может быть никаких сомнений. В этом месте математика абсолютно надёжна.

Но так ли это на самом деле? Почему мы так в этом уверены? Откуда у нас вообще берётся арифметика и логика? Разве люди придумали это — что 1+1=2, а Сократ будет неизбежно смертен? Нет, изначально они подсмотрели это в природе. И только потом, через тысячи лет подсчёта камешков и силлогических упражнений подвели под это дело теоретические основы. Но вообще это знание не продукт ума, а результат долгих наблюдений за миром и самим собой. Предметы при их сложении и вычитании ведут себя вот так, а рассуждаем мы вот эдак. В первую очередь это физические факты. Ну, ведь математика не что иное, как раздел физики, эксперименты в котором дёшевы (отметим, что это сказал математик, а не физик).

Но если самые базовые правила математики и логики являются лишь физическими законами, с чего мы взяли, что эти законы универсальны? Они выполняются с достаточной точностью на доступных нам масштабах пространства и времени, но никто не обещал их абсолютность. Не исключено, что они предельный случай каких-то более общих законов, и на других масштабах длины и времени, на достаточно высоких энергиях и плотностях появляются поправки, которыми уже нельзя пренебречь. Поправки не только к физике, что никого бы не удивило, но к самой арифметике и логике. Не исключено даже, что поправками дело не ограничивается, и на недоступных нашему наблюдению масштабах фундаментальная математика и логика вообще приобретают совершенно новую форму, не имеющую с нам знакомой ничего общего.

И вот здесь главная засада. Мы не можем увидеть невооружённым глазом объекты меньше ста микрон или услышать невооружённым ухом звук частотой выше 20 кГц, и всё же у нас есть приборы, позволяющие всё это наблюдать. Но у нас нет и не может быть приборов, позволяющих выйти за пределы нашего мышления. Мы просто неспособны представить себе альтернативную математику или логику. При попытке сделать это мы получим либо всю ту же нашу математику/логику, только замаскированную, либо внутренне противоречивую формальную систему, в рамках которой можно доказать что угодно, хоть А, хоть не-А. Потому что мы привязаны к определённым масштабам пространства, времени и энергии, где действуют определённые законы. Любой мозг и любая вычислительная машина, реализуемая на этих масштабах, будет иметь соответствующие свойства и ограничения. Скажем, работать она будет на электромагнитных силах, а не на ядерных или, там, гравитационных; и точно так же она будет функционировать на определённых логических принципах, имеющих место на этих масштабах, и просто физически не сможет работать на каких-то других, действующих на других этажах нашего мира. Эти другие принципы и правила (если они существуют) окажутся для нас абсолютно непостижимыми.

И если это действительно так, если на достаточно глубоких уровнях физики нашего мира привычная нам математика и логика перестаёт работать, заменяясь какой-то другой, это ставит крест на любых попытках хоть как-то подобраться к этим уровням. Барьер не только в недостижимости требуемой энергии — мы просто помыслить не сможем, что там происходит, не говоря уже о том, чтобы что-то посчитать. Любые представления и вычисления будут бессильны. Даже если бы "чисто энергетически" мы смогли бы поставить такой эксперимент, чтобы выйти на те уровни, это ничего бы не дало — ощущение было бы как после абсурдного сновидения, которое даже запомнить не получается, настолько там всё было не так, как наяву. Хотя в сновидении действовала своя жёсткая логика, уж это мы помним. Только прикоснуться к ней никак не сможем.

Речь идёт о том, возможны ли формальные системы, содержащие в себе правила вывода (т.е. способные предсказывать результаты опыта), но такие, что их принципиально нельзя сформулировать, ни человеку, ни какому-то сравнимому с ним разумному существу. Другими словами, формальные системы, альтернативные всей известной математике/логике и несводимые к ней никаким образом, и поэтому абсолютно непостижимые, но полностью реальные (в том смысле, что работающие).

Я предположил, что такие системы могли бы действовать на других "уровнях материи", например, на планковских масштабах, но, в общем, ничто не мешает им действовать и на человеческих масштабах. Эти системы могли бы эффективно описывать процессы, которые считаются неописуемыми и немоделируемыми (типа социальных, политических и т.п.), но использовать эти системы всё равно нельзя, потому что они непостижимы.

Сказано сумбурно, но яснее я не могу. К счастью, всё уже сформулировано до меня — в анекдоте про похищенную корову. "Коробка квадратная — значит, внутри круглое; круглое — значит, оранжевое; оранжевое — значит, апельсин". Три брата владели формальной системой, непостижимой для всех прочих, но эффективной — позволяющей верно предсказывать результат опыта. Для судьи и других присутствующих между тем фактом, что коробка квадратная, и тем, что внутри неё апельсин, не существовало никакой связи. Для них это — что внутри апельсин — была просто случайность, там могло лежать всё что угодно. Но для братьев-магов тут была не случайность, а жёсткая логическая необходимость, и поэтому они точно предсказали результат вскрытия коробки.

Можно рассмотреть то же самое с другого бока. Представим гипотетическое разумное существо, не владеющее привычной нам логикой высказываний. Силлогизм про смертность Сократа для него будет принципиально непостижим. Хотя оно отлично знает и то, что все люди смертны, и то, что Сократ человек, оно не сделает из этого неизбежного (для нас) вывода. И если оно вдруг узнает, что Сократ мёртв, для него этот факт будет выглядеть не чем-то неизбежным (как для нас), а простой случайностью: с его точки зрения, Сократ мог бы жить вечно, но вот не повезло ему. Так и мы: в разрозненных случайных фактах мы не видим ни причинно-следственной связи, ни какой-либо корреляции — для нас это всего лишь набор ничего не значащих случайностей. Но что, если на самом деле эти факты увязаны друг с другом строгой логикой, никакой случайности в них нет, есть только необходимость, одно жёстко следует из другого? Но логика, в которой очевидна эта жёсткая необходимость, для нас принципиально недоступна, и поэтому увидеть связи между фактами мы не способны. Для нас они так и остаются коллекцией случайных, никак не связанных фактов. Подобно тому, как хорошо зашифрованный сигнал покажется шумом, если не знать, что это сигнал, и не иметь ключа дешифровки.

Предположим, такая логика действительно существует, при этом в её рамках может быть сформулирована формальная система ("теория"), позволяющая эффективно предсказывать результаты опыта на доступных человечеству масштабах, уровнях и планах бытия. Можно ли как-то обнаружить хотя бы сам факт наличия этой системы, несмотря на то, что она абсолютно недоступна пониманию?

Кажется, что нет. Если мы загружаем исходные данные в принципиально непостижимый чёрный ящик, то вывод тоже будет принципиально непостижим и потому для нас неотличим от мусора. Мы просто не сможем среди множества выглядящих случайными явлений найти то, которое на самом деле не случайно, а с необходимостью следует из жёсткой, но недоступной нам логики. Как с апельсином в коробке у судьи: если бы братьев, предсказавших содержимое коробки, не было, никто бы и не подумал, что наличие в коробке апельсина, а не груши, не случайность, а необходимость. Но среди нас нет таких уникумов, как эти братья, и задача различения явлений видится безнадёжной.

Но не всё так плохо. Есть одна возможность: что, если непознаваемая теория с непостижимой логикой в некотором случае предсказывает некоторую повторяемость, воспроизводимость явлений? Не одно явление, а ряд однотипных? Другими словами, представим, что система в своём поведении проявляет некоторую регулярность, имеющую вид универсального закона. Но при этом аналитического решения, описывающего поведение системы, заведомо нет и быть не может. Так что мы понятия не имеем, как эту регулярность вывести, и откуда она вообще берётся именно такая. Однако регулярность налицо, и выглядит как универсальный закон. Отсюда можно предположить — только предположить! — что аналитическое решение, описывающее систему, всё же есть, и оно описывает именно такое поведение системы, но лежит это решение далеко в трансцендентном, за пределами всей нашей математики, в области, принципиально недоступной нашему уму. Поэтому сформулировать оное решение невозможно, можно лишь наблюдать его следствия — повторяемые паттерны, которые оно демонстрирует в некоторых случаях.

Есть ли в реальной действительности примеры чего-то похожего на описанное выше? Как ни странно, есть. Такими примерами могут послужить правило Тициуса-Боде или регулярности клеточных автоматов. Их нельзя "математически вывести" каким-либо образом из "первых принципов", их можно только наблюдать. Но раз они есть, то одной из возможных причин их существования можно указать альтернативную математику и логику, нам навсегда недоступную, но существующую одновременно с нашей.

И тут я подумал. А ведь в цивилизации существуют определённые практики, очень похожие на то, о чём мы говорим. Это дзен-буддизм с его коанами. Коан не загадка и не парадокс, он, это постоянно подчёркивается, не имеет логического решения. Его смысл состоит в достижении некоего особого состояния сознания.

Зачем оно нужно, спрашивается? У любой практики должна быть ясная и простая практическая цель. Что нас интересует, в конечном итоге? Магия, то есть власть, что же ещё. Поэтому предположу: истинной целью существования дзен-буддистских практик было выявление потенциальных магов. Учителя давали ученикам неразрешимые алогичные коаны, чтобы те ломали над ними головы, и наблюдали, не приобретёт ли кто в процессе какие-то необычные способности. Такие уникумы продолжали обучение в других местах...

Взято с
https://foxhound-lj.livejournal.com/